TMSnat · Aufgabengruppe
TMSnat Arithmetisches Problemlösen: Lösungswege und Übungen
Textaufgaben, die mit einfacher schriftlicher Rechnung zu lösen sind. Nach unserer Einordnung kommt es auf drei Dinge an: den Text in eine Gleichung übersetzen, mit Verhältnissen, Raten und Einheiten rechnen und Ergebnisse überschlagen, statt genau zu rechnen.
- Aufgaben
- 16
- Zeit
- 25 Minuten
- Herkunft
- aus dem HAM-Nat (Teil „Logisches Denken“)
Aufgabenzahl, Zeit und Herkunft nach dem Planungsstand der Testveranstalter vom 26. Juni 2026. Im Trainer ist diese Aufgabengruppe ausgebaut.
Textaufgaben in Gleichungen übersetzen
Eine Gleichung sagt, dass zwei Ausdrücke gleich groß sind; eine Variable steht für eine noch unbekannte Zahl.
Vorgehen: die gesuchte Größe als Variable festlegen, die Angaben als Gleichung aufschreiben, lösen, das Ergebnis am Text prüfen (Einheit, Plausibilität). Signalwörter helfen: „ist“ wird zum Gleichheitszeichen, „um … größer“ zur Addition, „das Doppelte“ zum Faktor 2.
Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man auf beiden Seiten dasselbe tut: dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen.
Bei zwei gesuchten Größen drückt man die eine durch die andere aus: „Die Summe zweier Zahlen ist 40, die zweite ist um 12 größer“ wird zu x + (x + 12) = 40, also x = 14 und die zweite Zahl 26.
Beispiel
Ein Kind ist heute 4 Jahre alt, seine Mutter 30. In wie vielen Jahren ist die Mutter doppelt so alt wie das Kind?
Lösung: 30 + x = 2 · (4 + x) → 30 + x = 8 + 2x → x = 22. Probe: Mutter 52, Kind 26.
Typische Fehler
- Die Angaben in der Reihenfolge des Textes hinschreiben.Besser: Die Beziehung zwischen den Größen übersetzen, nicht die Wortfolge.
- Nur eine Seite der Gleichung umformen.Besser: Beide Seiten gleich behandeln.
- „Um 17 größer“ als Faktor 17 lesen.Besser: „Um … größer“ bedeutet Addition.
Merksatz: Variable festlegen, Beziehung als Gleichung schreiben, auf beiden Seiten gleich umformen, Ergebnis am Text prüfen.
Raten und Verhältnisse
Eine Größe lässt sich auf eine andere beziehen, etwa Kosten je Stück oder Weg je Stunde.
Eine Rate ist eine Menge je Zeit (ml/h, Tropfen/min); Menge = Rate · Zeit. Davon zu unterscheiden ist eine Menge je Bezugsgröße, etwa eine Dosis in mg/kg Körpergewicht: Gesamtdosis = Dosis je kg · Körpergewicht. Proportionale Sachaufgaben löst man über den Wert je Einheit oder eine Verhältnisgleichung.
Einheiten rechnet man mit Faktoren vom Wert 1 um, etwa 9 Wochen · 7 Tage/Woche · 24 h/Tag = 1512 h. Die Einheiten kürzen sich; bleibt am Ende die gesuchte Einheit stehen, ist der Rechenweg plausibel.
Vorsicht bei Durchschnittswerten: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist Gesamtweg durch Gesamtzeit, nicht das Mittel der Geschwindigkeiten. 60 km hin mit 60 km/h und zurück mit 30 km/h ergeben 120 km in 3 h, also 40 km/h.
Beispiel
Ein Kind mit 20 kg soll 10 mg/kg eines Medikaments erhalten; der Saft enthält 50 mg je ml. Wie viele ml gibt man?
Lösung: Dosis 10 mg/kg · 20 kg = 200 mg; 200 mg / 50 mg/ml = 4 ml.
Typische Fehler
- Dosis durch das Körpergewicht teilen.Besser: Dosis je kg mit dem Körpergewicht multiplizieren.
- Umrechnungsfaktor falsch herum anwenden.Besser: So ansetzen, dass sich die alte Einheit kürzt.
- Durchschnittsgeschwindigkeit als Mittel der Geschwindigkeiten.Besser: Gesamtweg durch Gesamtzeit.
Merksatz: Einheiten mitschreiben und kürzen; Menge = Rate · Zeit; Durchschnitt immer über Gesamtmenge durch Gesamtzeit.
Überschlag und Größenordnung
Gerundete Zahlen lassen sich im Kopf verrechnen; mit Zehnerpotenzen behält man die Größenordnung im Blick.
Für einen Überschlag rundet man jede Zahl auf eine gültige Stelle und rechnet mit Zehnerpotenzen: 4,9 · 0,021 ≈ 5 · 0,02 = 0,1; 3120/58 ≈ 3000/60 = 50. So lassen sich Antwortoptionen ausschließen, die um den Faktor 10 oder mehr danebenliegen.
Ein Ergebnis kann nicht genauer sein als die ungenaueste Ausgangsangabe; beim Multiplizieren und Dividieren richtet sich die Zahl der gültigen Stellen nach der Angabe mit den wenigsten.
Bekannte Größenordnungen helfen bei der Plausibilitätsprüfung: Eine Zelle misst rund 10 µm, ein Mensch rund 2 m, ein Erwachsener wiegt rund 70 kg, ein Liter Wasser 1 kg. Ein Ergebnis wie „Zelldurchmesser 10 cm“ verrät einen Fehler um Zehnerpotenzen.
Beispiel
Schätzen Sie 0,0031 · 2900 ab.
Lösung: ≈ 3 · 10^−3 · 3 · 10^3 = 9; genau sind es 8,99.
Typische Fehler
- Beim Überschlag die Zehnerpotenzen verlieren.Besser: Zahlen mit Zehnerpotenz schreiben und die Exponenten mitrechnen.
- Alle Stellen des Taschenrechners übernehmen.Besser: Nicht genauer angeben als die ungenaueste Angabe.
- Ein unplausibles Ergebnis nicht hinterfragen.Besser: Mit bekannten Größenordnungen prüfen.
Merksatz: Auf eine Stelle runden, mit Zehnerpotenzen rechnen, Ergebnis an bekannten Größenordnungen prüfen.
Übungsaufgaben mit Lösung
Eigene Aufgaben aus dem Fragenbestand des Trainers, keine Originalaufgaben des TMSnat.
Lösung und Erklärung
Richtig ist:B) 6 cm
- A) Falsch. Kein Wert aus der Rechnung.
- B) Richtig. b = (30 − 2 · 9)/2.
- C) Falsch. Nicht durch 2 geteilt.
- D) Falsch. 30 − 9.
- E) Falsch. Kein Wert aus der Rechnung.
Aus U = 2l + 2b folgt b = (U − 2l)/2 = (30 − 18)/2 cm = 6 cm. Erst nach der gesuchten Größe auflösen, dann einsetzen. (Quelle: OpenStax College Algebra, Abschnitt 2.3.)
Quelle: 2.3 Models and Applications, Using a Formula to Solve a Real-World Application
Lösung und Erklärung
Richtig ist:C) 15 h
- A) Falsch. Liter nicht in Milliliter umgerechnet: 1,2 / 80.
- B) Falsch. Rate durch Menge geteilt: 80 / 1200.
- C) Richtig. 1200 ml / 80 ml/h = 15 h.
- D) Falsch. Menge mit Rate malgenommen: 1,2 · 80.
- E) Falsch. Mit 10 000 statt mit 1000 ml je Liter gerechnet.
Zeit = Menge / Rate = 1200 ml / 80 ml/h = 15 h; die Milliliter kürzen sich (OpenStax Prealgebra 2e, Abschnitte 5.6 und 7.5).
Quelle: 5.6 Ratios and Rate
Lösung und Erklärung
Richtig ist:E) 24
- A) Falsch. Um den Faktor 10 000 zu klein.
- B) Falsch. Um den Faktor 1000 zu klein.
- C) Falsch. Um den Faktor 100 zu klein.
- D) Falsch. Um den Faktor 10 zu klein.
- E) Richtig. 6 · 10⁻³ · 4 · 10³ = 24 (genau 24,18).
Jeden Faktor auf eine gültige Stelle runden: 6 · 10⁻³ · 4 · 10³ = 24; genau sind es 24,18 (OpenStax College Physics 2e, Abschnitt 1.4).
Quelle: 1.4 Approximation, 1.2 Exponents and Scientific Notation