TMSnat · Aufgabengruppe
TMSnat Quantitative Probleme: Formeln, Einheiten, Übungen
Rechenaufgaben in medizinisch-naturwissenschaftlichem Rahmen. Nach den bisherigen TMS-Aufgaben stehen Formeln und Umrechnungen in der Aufgabe; geübt wird, sie richtig anzuwenden: Einheiten umrechnen, mit Konzentrationen und Mengen rechnen, Verdopplungen und Halbierungen verfolgen, Proportionalitäten aus Formeln ablesen.
- Aufgaben
- 20
- Zeit
- 50 Minuten
- Herkunft
- aus dem TMS
Aufgabenzahl, Zeit und Herkunft nach dem Planungsstand der Testveranstalter vom 26. Juni 2026. Im Trainer ist diese Aufgabengruppe ausgebaut.
Einheiten einer Formel prüfen
Eine Formel kann nur stimmen, wenn ihre rechte Seite dieselbe Einheit ergibt wie die gesuchte Größe auf der linken Seite.
In Aufgaben dieser Art sind mehrere Formeln vorgegeben, und nur eine ergibt die verlangte Einheit. Du musst die Formel nicht verstehen, nur ihre Einheiten ausrechnen: Einsetzen, multiplizieren, kürzen.
Einheiten werden behandelt wie Zahlen. Ein Quadrat gilt auch für die Einheit: (m/s)² = m²/s². Ein Bruch im Nenner dreht sich um: kg / (1/s) = kg · s. Zusammengesetzte Einheiten zerlegt man in Basiseinheiten, etwa N = kg · m/s² oder J = kg · m²/s².
Raten haben „pro Zeit“ im Nenner: Ein Volumenstrom hat die Einheit Volumen je Zeit (ml/min), eine Ausscheidungsrate Menge je Zeit (mg/h). Steht in der Antwort keine Zeit im Nenner, kann sie keine Rate sein.
Beispiel
Gesucht ist eine Größe mit der Einheit kg · m/s. Gegeben sind m (kg), v (m/s) und t (s). Welche Formel passt: m · v, m · v · t oder m/(v · t)?
Lösung: m · v ergibt kg · m/s; m · v · t ergibt kg · m; m/(v · t) ergibt kg/m.
Typische Fehler
- Das Quadrat nur auf die Zahl, nicht auf die Einheit anwenden.Besser: (m/s)² = m²/s².
- Einen Volumenstrom mit der Einheit eines Volumens verwechseln.Besser: Volumenstrom = Volumen je Zeit.
Merksatz: Einheiten einsetzen, ausmultiplizieren, kürzen; was übrig bleibt, muss die gesuchte Einheit sein.
Gegebene Formeln anwenden und umstellen
Eine gegebene Formel löst man, indem man sie zuerst nach der gesuchten Größe umstellt und erst dann die Werte in gleichen Einheiten einsetzt.
Die Aufgaben nennen eine Formel, oft mit einer kurzen Erklärung der Größen, und fragen nach einer Größe, die nicht allein steht. Umstellen heißt: auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation, bis die gesuchte Größe isoliert ist. Aus Q = V/t wird t = V/Q.
Vor dem Einsetzen alle Werte in passende Einheiten bringen: Milliliter und Liter, Minuten und Stunden dürfen nicht gemischt werden. Bei Konzentrationen gilt Menge = Konzentration · Volumen; bei einer Verdünnung bleibt die Menge gleich, nur das Volumen wächst.
Zum Schluss Plausibilität prüfen: Eine längere Laufzeit bei kleinerer Flussrate, eine kleinere Konzentration nach dem Verdünnen. Passt die Richtung nicht, ist meist beim Umstellen etwas vertauscht.
Beispiel
Eine Infusion von 500 ml läuft mit 125 ml/h. Wie lange dauert sie?
Lösung: t = V/Q = 500 ml / 125 ml/h = 4 h.
Typische Fehler
- Beim Umstellen Zähler und Nenner vertauschen (t = Q/V).Besser: Einheiten mitrechnen; ml / (ml/h) ergibt h.
- Nach einer Verdünnung eine kleinere Wirkstoffmenge annehmen.Besser: Die Menge bleibt gleich, nur die Konzentration sinkt.
Merksatz: Erst umstellen, dann Einheiten angleichen, dann einsetzen und die Richtung prüfen.
Halbierung und Verdopplung über mehrere Schritte
Bei Halbwertszeit und Verdopplungszeit ändert sich die Menge in jedem Zeitschritt um denselben Faktor, nicht um denselben Betrag.
Wird ein Arzneistoff mit einer Halbwertszeit ausgeschieden, halbiert sich die Menge in jeder Halbwertszeit: nach einer auf 1/2, nach zwei auf 1/4, nach drei auf 1/8. Die Zahl der Schritte ist Zeit geteilt durch Halbwertszeit. Nach n Schritten bleibt (1/2)^n.
Rückwärts gilt dasselbe: Ist nach drei Halbwertszeiten noch 10 mg vorhanden, war die Anfangsmenge 10 mg · 2³ = 80 mg. Bei Verdopplung (etwa Bakterien) wächst die Menge nach n Verdopplungen auf das 2^n-Fache; zehn Verdopplungen ergeben rund das Tausendfache (2^10 = 1024).
Ohne Taschenrechner hilft eine kleine Tabelle der Zweierpotenzen: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
Beispiel
Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 6 Stunden. Welcher Anteil ist nach 24 Stunden noch vorhanden?
Lösung: 24 h / 6 h = 4 Halbwertszeiten; (1/2)^4 = 1/16.
Typische Fehler
- Linear statt halbierend abnehmen (nach zwei Halbwertszeiten sei alles weg).Besser: In jedem Schritt halbiert sich der Rest.
- Nach n Verdopplungen das 2 · n-Fache annehmen.Besser: 2 hoch n, also 2^n.
Merksatz: Schritte zählen (Zeit durch Halbwertszeit), dann mit 1/2 oder 2 potenzieren.
Proportionalitäten aus Formeln ablesen
Ändert sich in einer Formel eine Größe um einen Faktor, ändert sich das Ergebnis um diesen Faktor hoch dem Exponenten, mit dem die Größe in der Formel steht.
Viele Aufgaben fragen nicht nach einem Zahlenwert, sondern nach dem Faktor: Wie ändert sich der Fluss, wenn der Radius halb so groß ist? Dafür muss man nichts einsetzen; man liest den Exponenten ab. Steht r in der vierten Potenz (Gesetz von Hagen-Poiseuille), bewirkt ein halber Radius 1/2 hoch 4 = 1/16 des Flusses.
Steht eine Größe im Nenner, wirkt der Faktor umgekehrt: Doppelter Widerstand bei gleicher Spannung bedeutet halbe Stromstärke. Ändern sich zwei Größen, multipliziert man die Einzelfaktoren.
Größen, die unverändert bleiben, kürzen sich beim Vergleich heraus; ihre Werte braucht man nicht.
Beispiel
Der Fluss durch ein Gefäß ist proportional zu r^4. Der Radius verdoppelt sich. Um welchen Faktor ändert sich der Fluss?
Lösung: 2^4 = 16; der Fluss steigt auf das 16-Fache.
Typische Fehler
- Den Faktor des Radius direkt übernehmen (doppelter Radius, doppelter Fluss).Besser: Faktor hoch Exponent.
- Bei einer Größe im Nenner den Faktor nicht umkehren.Besser: Umgekehrt proportional heißt Faktor 1/f.
Merksatz: Exponent ablesen, Faktor hoch Exponent; im Nenner umkehren; mehrere Faktoren multiplizieren.
Übungsaufgaben mit Lösung
Eigene Aufgaben aus dem Fragenbestand des Trainers, keine Originalaufgaben des TMSnat.
Lösung und Erklärung
Richtig ist:A) 50 g
- A) Richtig. 1 l = 10 · 100 ml; 10 · 5 g = 50 g.
- B) Falsch. Um den Faktor 10 zu viel.
- C) Falsch. Das ist das Volumen in ml, nicht die Glucosemenge.
- D) Falsch. Um den Faktor 100 zu viel.
- E) Falsch. Um den Faktor 1000 zu viel.
1 l sind 1000 ml, also zehnmal 100 ml: 10 · 5 g = 50 g (OpenStax Chemistry 2e, Abschnitt 3.4).
Quelle: 3.4 Other Units for Solution Concentrations, Mass-Volume Percentage
Lösung und Erklärung
Richtig ist:C) 2,5 h
- A) Falsch. Das wären nur zwei Verdopplungen.
- B) Falsch. Das wären vier Verdopplungen, also 16 000.
- C) Richtig. 32 000 / 1000 = 32 = 2⁵; 5 · 30 min = 2,5 h.
- D) Falsch. Die Zahl der Verdopplungen mit 32/2 verwechselt.
- E) Falsch. Den Faktor 32 als Stundenzahl genommen.
Der Faktor ist 32 = 2⁵, also fünf Verdopplungen. Fünf mal 30 Minuten sind 2,5 Stunden (OpenStax Prealgebra 2e, Abschnitt 10.5).
Lösung und Erklärung
Richtig ist:E) 4
- A) Falsch. Beide Faktoren umgekehrt.
- B) Falsch. Nur den Widerstand berücksichtigt und falsch herum.
- C) Falsch. Die Faktoren heben sich nicht auf.
- D) Falsch. Nur einen der beiden Faktoren berücksichtigt.
- E) Richtig. Spannung · 2, Widerstand im Nenner · 1/2: zusammen 2 · 2 = 4.
Doppelte Spannung: Faktor 2. Halber Widerstand im Nenner: Faktor 2. Zusammen 4 (OpenStax College Physics 2e, Abschnitt 20.2).